Question

在边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD上异于A，D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）证明：不论E、F怎样移动，△BEF总是等边三角形．
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用菱形的性质和正三角形的特点进行证明；
（2）△BEF为正三角形，可解用（1）全等的结论证明；
（3）作出恰当的辅助线，构成直角三角形，根据直角三角形的特点和三角函数进行计算．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD．
又∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD，
∵菱形ABCD的边长为a，
∴BD=a，
∴△ABD和△BCD都为正三角形，
∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，
∵AE+DE=AD=a，而AE+CF=a，
∴DE=CF．
在△BDE与△BCF中，

DE=CF ∠BDE=∠BCF BD=BC

，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；

（2）解：△BEF为正三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF为正三角形；

（3）解：设BE=BF=EF=x，
则S=

1

2

•x•x•sin60°=

3

4

x²，
当BE⊥AD时，x_最小=a×sin60°=

3

2

a，
∴S_最小=

3

4

×（

3

2

a）²=

3 3

16

a²，
当BE与AB重合时，x_最大=a，
∴S_最大=

3

4

×a²=

3

4

a²，
∴

3 3

16

a²≤S≤

3

4

a²．

点评：本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合运用、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．