Question

7．如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为7或$\frac{65}{3}$．

Answer 1

分析 此题要分两种情况进行讨论：①当点A落在线段BC上时；②当A在CB的延长线上时，首先证明△BMD∽△CDN．根据相似三角形的性质可得$\frac{BD}{CN}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{BM}{CD}$，再设AN=x，则CN=30-x，然后利用含x的式子表示DM、BM，根据BM+DM=30列出方程，解出x的值可得答案．

解答 解：①当点A落在如图1所示的位置时，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，
∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，
∴∠BMD=∠NDC，
∴△BMD∽△CDN．
∴得$\frac{BD}{CN}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{BM}{CD}$，
∵DN=AN，
∴得$\frac{BD}{CN}$=$\frac{DN}{AN}$=$\frac{BM}{CD}$，
∵BD：DC=1：4，BC=10，
∴DB=2，CD=8，
设AN=x，则CN=10-x，
∴$\frac{2}{10-x}$=$\frac{DM}{x}$=$\frac{BM}{8}$，
∴DM=$\frac{2x}{10-x}$，BM=$\frac{16}{10-x}$，
∵BM+DM=30，
∴$\frac{2x}{10-x}$+$\frac{16}{10-x}$=10，
解得x=7，
∴AN=7；

②当A在CB的延长线上时，如图2，
与①同理可得△BMD∽△CDN．
∴得$\frac{BD}{CN}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{BM}{CD}$，
∵BD：DC=1：4，BC=10，
∴DB=$\frac{10}{3}$，CD=$\frac{40}{3}$，
设AN=x，则CN=x-10，
∴$\frac{\frac{10}{3}}{x-10}$=$\frac{DM}{x}$=$\frac{BM}{\frac{40}{3}}$，
∴DM=$\frac{10x}{3（x-10）}$，BM=$\frac{400}{9（x-10）}$，
∵BM+DM=10，
∴$\frac{10x}{3（x-10）}$+$\frac{400}{9（x-10）}$=10，
解得：x=$\frac{65}{3}$，
∴AN=$\frac{65}{3}$．
故答案为：7或$\frac{65}{3}$．

点评 此题主要考查了相似综合题、翻折变换，关键是证明△BMD∽△CDN得到得$\frac{BD}{CN}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{BM}{CD}$，再利用含AN的式子表示DM、BM．