Question

15．如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，E为AD边上一点，且AE=$\frac{1}{2}$AB，连结BE，将△ABE沿BE翻折，若点A恰好落在CE上点F处，则∠CBF的余弦值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 设AE=$\frac{1}{2}$AB=1，CF=x，则AB=BF=2，CE=CB=1+x，在Rt△BCF中，根据勾股定理可得x²+2²=（1+x）²，即可得到CB的长，最后在Rt△BCF中，根据cos∠CBF=$\frac{BF}{BC}$进行计算即可．

解答 解：设AE=$\frac{1}{2}$AB=1，CF=x，则AB=BF=2，
由折叠可得，∠AEB=∠FEB，∠EFB=∠A=90°，
由AD∥BC可得，∠CBE=∠AEB，
∴∠CBE=∠CEB，
∴CE=CB=1+x，
在Rt△BCF中，CF²+BF²=BC²，
∴x²+2²=（1+x）²，
解得x=$\frac{3}{2}$，
∴CE=1+x=$\frac{5}{2}$，
∴CB=$\frac{5}{2}$，
∴Rt△BCF中，cos∠CBF=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{2}{\frac{5}{2}}$=$\frac{4}{5}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了折叠问题，勾股定理，解直角三角形以及矩形的性质的运用，解决问题的方法是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．