已知抛物线y=-$\frac{4}{3}$x2+bx+c与x轴交于A.B两点.与y轴交于C.点D为抛物线的顶点.抛物线的对称轴交x轴于H.OB=3.OC=4．(1)求抛物线的解析式,(2)若点P为对称轴右侧抛物线上一点.连接PA交y轴于点F.过点P作y轴的垂线垂足为N.交抛物线于点Q.求证:4PN=3CF,的条件下.连接QH.点N为x轴上一点.连接QN.且QN=QH.过点N作y轴� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知抛物线y=-$\frac{4}{3}$x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于H，OB=3，OC=4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为对称轴右侧抛物线上一点，连接PA交y轴于点F，过点P作y轴的垂线垂足为N，交抛物线于点Q，求证：4PN=3CF；
（3）在（2）的条件下，连接QH，点N为x轴上一点，连接QN，且QN=QH，过点N作y轴的平行线交抛物线于点G，连接PD、PG、PN，若∠QPN+$\frac{1}{2}$∠DPG=90°，求PQ的长．

分析（1）把点B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）设P（t、-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），如图1，作PT⊥x轴于T．则OF∥PT，利用平行线截线段成比例来求相关线段的长度，继而证得结论；
（3）如图2，延长GN、PQ交于M，设P点的坐标为（t、-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），对称轴x=1，Q（2-t，-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），由坐标求得相关线段的长度，结合锐角三角函数的定义进行解答即可．

解答解：（1）∵OB=3，OC=4，
∴B（3、0）C（0、4），
∵B、C在抛物线上y=-$\frac{4}{3}$x²+bx+c，代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{3}×{3}^{2}+3b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{8}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
则该抛物线的解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4；

（2）设P（t、-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），
如图1，作PT⊥x轴于T．
∵OF∥PT
∴$\frac{OF}{PT}$=$\frac{OA}{AT}$，即$\frac{OF}{-\frac{4}{3}{t}^{2}+\frac{8}{3}t+4}$=$\frac{1}{t+1}$，
∴OF=-$\frac{4}{3}$t+4，
∴CF=OC-OF=4-（-$\frac{4}{3}$t+4）=$\frac{4}{3}$t，PN=t，
∴4PN=3CF；

（3）如图2，延长GN、PQ交于M，
∴∠M=90°，设P点的坐标为（t、-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），对称轴x=1，
∴Q（2-t，-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），
∵QN=QH，
∴M（3-2t，P（t，-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ）  QN=t-2、
∴G（2t-3，-$\frac{16}{3}$t²+$\frac{32}{3}$t）
∴MG=（t-1）²，MP=3t-3．
∵D（1，$\frac{16}{3}$）  DR=$\frac{4}{3}$（t-1）²，PR=t-1，
∴tan∠MPG=$\frac{4}{3}$（t-1），tan∠DPR=$\frac{4}{3}$（t-1），
∴∠DPR=∠MPG，
∵∠QPN+$\frac{1}{2}$∠DPG=90°，
∴∠DPN=90°，
∴∠RDP=∠MPN．
tan∠RDP=tan∠MPN
$\frac{PR}{DR}$=$\frac{MP}{MG}$即  $\frac{t-1}{\frac{4}{3}（t-1）^{2}}$=$\frac{-\frac{4}{3}（t+1）（t-3）}{3（t-1）}$，
解得t=1+$\frac{\sqrt{37}}{4}$，
则PQ=$\frac{\sqrt{37}}{2}$．