题目内容
2．（1）如图1，已知B为线段AC上一点，分别以AB、BC为边向AC的异侧作等边△ABE、△BCF，连接AF、EC，则AF与EC的等量关系是相等；（2）如图2，已知△ABC，分别以AB、BC、CA为边向三角形外作等边△ABE、△BCF、△ACG，连接AF、EC、BG，判断AF、EC与BG之间的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，已知四边形ABCD，分别以AB、BC、CD、DA为边向四边形外作等边△ABE、△BCF、△CDG、△ADH，连接AF、EC、AG、HC，请直接写出AF、EC、AG、HC四条线段之间的等量关系：AF=EC=AG=HC．
分析 （1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△AEC≌△AEF即可；
（2）证明△ACF≌△GCB即可；
（3）证明△EBC≌△ABF即可得到答案．
解答 解：（1）AF=CE，∵△ABE、△BCF是等边三角形，
∴∠AEB=∠EAB=60°，AB=BE，BC=BF，
∴AC=EF，
在△AEC与△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠AEB=∠EAB}\\{AC=EF}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△AEF，
∴AF=CE；
故答案为：相等；
（2）AF=BG=EC，
∵△BCF，△ACG是等边三角形，
∴AC=GC，FC=BC，∠BCF=∠ACG=60°，
∴∠BCF+∠ACB=∠ACG+∠ACB，即∠ACF=∠GCB，
在△ACF与△GCB中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=GC}\\{∠ACF=∠GCB}\\{FC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△GCB，
∴AF=BG，同理EC=BG，
∴AF=BG=EC；
（3）∵△AEB，△BCF是等边三角形，
∴BE=BA，BC=BF，∠ABE=∠CBF=60°，
∴∠ABE+∠ABC=∠CBF+∠ABC，即∠EBC=∠ABF，
在△EBC与△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BA}\\{∠EBC=∠ABF}\\{BC=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△ABF，
∴AF=EC，
同理AF=EC=AG=HC．
故答案为：AF=EC=AG=HC．
点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理以及等边三角形的三个角都是60°、三条边相等是解题的关键．
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有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是3，可发现第1次输出的结果是10，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是16，依次继续下去…，第101次输出的结果是4．
如图，AB是⊙O的直径，点E、F分别是OA、OB的中点，且EC⊥AB，FD⊥AB，EC、FD交⊙O于C、D两点，求证：$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$．
如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且∠ADE=22.5°，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，延长EF交BC于点H，交DC的延长线于点G，则图中所有的等腰三角形是△EBH、△GHC、△EDG（将符合条件的所有三角形全部列举出来）．
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