Question

5．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，作射线PO，分别交⊙O于点E，C，交AB于点D，∠C=30°，PO=12．
（1）求点P到⊙O的切线PA的长；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠AOP=60°，根据PA，PB分别切⊙O于点A，B，得到∠OAP=90°，于是得到OA=$\frac{1}{2}$OP=6，根据勾股定理即可得到结果；
（2）根据PA，PB分别切⊙O于点A，B，得到PA=PB，∠APO=∠BPO，根据等腰三角形的性质得到AB⊥OP，求得OD=$\frac{1}{2}$OA=3，AD=3$\sqrt{3}$，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵OA=OC，∠C=30°，
∴∠AOP=60°，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴∠OAP=90°，
∴∠APO=30°，
∵PO=12，
∴OA=$\frac{1}{2}$OP=6，
∴PA=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=6$\sqrt{3}$；

（2）∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO，
∴AB⊥OP，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=3，AD=3$\sqrt{3}$，
∴AB=2AD=6$\sqrt{3}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×3=9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键．