Question

13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，分别以AE、BE为直径作两个大小不同的⊙O₁和⊙O₂，若CD=16，则图中阴影部分的面积为32π（结果保留π）．

Answer 1

分析 连接CA，DA，根据垂径定理得到CE=ED=8，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，易证Rt△ECA∽Rt△EBD，则EC²=EA•EB=100；利用S_阴影部分=S_⊙O-S_⊙1-S_⊙2和圆的面积公式进行变形可得到阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$•AE•EB•π，即可计算出阴影部分的面积．

解答 解：连接CA，DA，如图：
∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
又∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CEA=∠BEC=90°，
∴∠A+∠ACE=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠ACE=∠B，
∴Rt△ECA∽Rt△EBC，
∴EC：EB=EA：EC，
∴EC²=EA•EB=64；
S_阴影部分=S_⊙O-S_⊙1-S_⊙2
=π•$\frac{1}{4}$AB²-π•$\frac{1}{4}$AE²-π•$\frac{1}{4}$BE²
=π[$\frac{1}{4}$AB²-$\frac{1}{4}$AE²-$\frac{1}{4}$（AB-AE）²]
=π（$\frac{1}{2}$AE•AB-$\frac{1}{2}$AE²）
=$\frac{1}{2}$•AE•EB•π
=32π．
故答案为：32π．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；也考查了圆周角定理和三角形相似的判定与性质以及圆的面积公式．