Question

15．【发现与证明】把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中有许多结论：?ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AD 与B′C交于E，连结B′D，则△A B′C与?ABCD重叠部分的图形（△AEC）是等腰三角形．请利用图1证明这个结论．

【应用与探究】
（1）如图1，已知∠B=30°，若AB=$\sqrt{3}$，∠AB′D=75°，则∠ACB=45°°；
（2）如图2，已知∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，BC=1，AB′与边CD相交于点E，求△AEC的面积．

Answer 1

分析 （1）△ABC沿AC翻折至△AB′C，∠B=30°得到∠AB′C=∠B=30°，即∠ACB=∠CB′D=∠AB′D-∠AB′C=∠AB′D-∠B=75°-30°=45°
（2）过C点分别作CG⊥AB，CH⊥A B′，垂足分别为G、H，应用含30度直角三角形的性质和勾股定理AE和CH的长即可求出△AEC的面积．

解答 【发现与证明】解：如答图1，

设AD与B′C相交于点F，
∵△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴△ABC≌△△AB′C，∠ACB=∠ACB′，BC=B′C．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC．
∴B′C=AD，∠ACB=∠CAD．
∴∠ACB′=∠CAD=$\frac{180°-∠B′FD}{2}$
∴AF=CF．
∴B′F=DF．
∴∠CB′D=∠B′DA=$\frac{180°-∠B′FD}{2}$
∵∠AFC=∠B′FD，
∴∠ACB′=∠CB′D
∴B′D∥AC．
【应用与探究】
（1）设AD与B′C相交于点F，
∵△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴△ABC≌△△AB′C，∠ACB=∠ACB′，BC=B′C．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC．
∴B′C=AD，∠ACB=∠CAD．
∴∠ACB′=∠CAD=$\frac{180°-∠B′FD}{2}$
∴AF=CF．
∴B′F=DF．
∴∠CB′D=∠B′DA=$\frac{180°-∠B′FD}{2}$
∵∠AFC=∠B′FD，
∴∠ACB′=∠CB′D
∴∠ACB=∠CB′D=∠AB′D-∠AB′C=∠AB′D-∠B=75°-30°=45°，
故答案为45°
（2）如答图2，

过C点分别作CG⊥AB，CH⊥AB′，垂足分别为G、H．
∴CG=CH．
在Rt△BCG中，∠BGC=90°，BC=1，∠B=30°，
∴CG=$\frac{1}{2}$，BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵AB=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
∵△AGC≌△AHC，
∴CH=CG=$\frac{1}{2}$，AH=AG=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
设AE=CE=x，
由勾股定理得，CE²=CH²+HE²
即：x²=（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-x）²，
∴x=$\frac{7\sqrt{3}}{9}$
∴△AEC的面积=$\frac{1}{2}$AE×CH=$\frac{7\sqrt{3}}{36}$．

点评 此题是几何变换综合题，本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；计算和表示出角和线段是解本题的关键．