Question

19．关于x的一元二次方程$\frac{1}{4}$x²+（m-1）x-2m+1=0．
（1）求证：当m≠0时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若原方程的两根之和为8，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由根的判别式可知b²-4ac=m²，结合2次方的非负性即可证出结论；
（2）由根与系数的关系可得出x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=8，套入数据即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．

解答 （1）证明：△=b²-4ac=（m-1）²-4×$\frac{1}{4}$（-2m+1）=m²-2m+1+2m-1=m²．
∵m≠0，
∴m²＞0，
∴当m≠0时，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由已知得：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=-4（m-1）=8，
即m+1=0，解得：m=-1．
答：若原方程的两根之和为8，则m的值为-1．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）找出b²-4ac=m²；（2）得处关于m的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．