如图.在矩形OABC中.AO=10.AB=8.沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC.使点B落在OA边上的点E处.分别以OC.OA所在的直线为x轴.y轴建立平面直角坐标系.抛物线y=ax2+bx+c经过O.D.C三点．(1)求AD的长及抛物线的解析式,(2)一动点P从点E出发.沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动.同时动点Q从点C出发.沿CO以每秒1个单位长的速度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax²+bx+c经过O，D，C三点．
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）在抛物线的对称轴上有一点M，使MD+ME的值最小，试求出点M的坐标，并求MD+ME的最小值．

分析（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的长，进而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB-BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值；
（3）直接利用对称点的性质得出M点位置，进而得出答案．

解答解：（1）∵四边形ABCO为矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
由题意，△BDC≌△EDC．
∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．
由勾股定理易得EO=6．
∴AE=10-6=4，
设AD=x，则BD=ED=8-x，由勾股定理，得x²+4²=（8-x）²，
解得，x=3，∴AD=3．
∵抛物线y=ax²+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=10}\\{64a+8b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x．

（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．
而CQ=t，EP=2t，∴PC=10-2t．
当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
∴$\frac{CQ}{AE}$=$\frac{CP}{DE}$，即$\frac{t}{4}$=$\frac{10-2t}{5}$，
解得：t=$\frac{40}{13}$．
当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
∴$\frac{PC}{AE}$=$\frac{QC}{DE}$，即$\frac{10-2t}{4}$=$\frac{t}{5}$，
解得：t=$\frac{25}{7}$．
∴当t=$\frac{40}{13}$或$\frac{25}{7}$时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．

（3）如图所示：作点D（3，10）关于对称轴x=4的对称点D₁（5，10），连接D₁E交对称轴x=4于点M，此时MD+ME的值最小，
设直线D₁E的解析式为：y=kx+b（k≠0），
将E（0，6），D₁（5，10）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{5k+b=10}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{5}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
故直线D₁E的解析式为：y=$\frac{4}{5}$x+6（0≤x≤5），
令x=4，解得：y=$\frac{46}{6}$，
∴M（4，$\frac{46}{5}$），
此时，MD+ME=ME+MD₁=D₁E=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{41}$．