Question

10．在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，另一个正方形OHIG绕点O旋转（如图），设OH与边BC交于点E（与点B、C不重合），OG与边CD交于点F．
（1）求证：BE=CF；
（2）在旋转过程中，四边形OECF的面积是否会变化？若没有变化，求它的面积；若有变化，请简要说明理由；
（3）联结EF交对角线AC于点K，当△OEK是等腰三角形时，求∠DOF的度数．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，得到OB=OC∠BOC=90°，∠OBE=∠OCF=45°，根据四边形OHIG是正方形，得到∠GOH=90°，根据余角的性质得到∠BOE=∠COF，推出△BOE≌△COF（ASA），根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到S_{四边形OECF}=S_△BOC，根据正方形的性质得到S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}于是得到结论；
（3）根据（1）的结论得到△OEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠OEK=45°当OE=OK，当KE=KO，当EO=EK，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC∠BOC=90°，
∠OBE=∠OCF=45°，
∵四边形OHIG是正方形，
∴∠GOH=90°，
∴∠EOC+∠COF=90°，
∵∠EOC+∠BOE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中∠$\left\{\begin{array}{l}∠OBE=∠OCF\\ OB=OC\\∠BOE=∠COF\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴BE=CF；

（2）四边形OECF的面积没有变化，
由（1）得：△BOE≌△COF
∴S_{四边形OECF}=S_△OEC+S_△COF=S_△OEC+S_△BOE=S_△BOC，
易知：S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}，
∵S_{四边形ABCD}=2²=4，
∴S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_△BOC=$\frac{1}{4}$×4=1，
即：四边形OECF的面积没有变化；

（3）连接EF交AC于K，
由（1）得：∠EOK=∠DOF，OE=OF，
又∠GOH=90°，即△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OEK=45°，
当OE=OK，显然不成立；
当KE=KO，即∠KEO=∠EOK=∠DOF=45°，
当EO=EK，即∠DOF=∠EOK=$\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
故当△OEK是等腰三角形时，∠DOF的度数是45°或67.5°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，正方形的性质，证得BE=CF是解题的关键．