Question

4．探究说明：
（1）如图1在△ABC中，AB=AC，点E是BC上一个动点，EG⊥AB，EF⊥AC，CD⊥AB，点G、F、D分别是垂足．求证：CD=EG+EF；
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，点E是BC延长线上的一个动点，EG⊥AB于G，EF⊥AC交AC的延长线于F，CD⊥AB于D，直接猜想CD，EG，EF之间的数量关系为CD=EG-EF；
（3）如图3，边长为10的正方形ABCD的对角线相交于点O，H在BD上，且BH=BC，连接CH，点E是CH上一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，则EF+EG=5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据S_△ABC=S_△ABE+S_△ACE，得到$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AB•EG+$\frac{1}{2}$AC•EF，根据等式的性质即可得到结论；
（2）由于S_△ABC=S_△ABE-S_△ACE，于是得到$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AB•EG-$\frac{1}{2}$AC•EF，根据等式的性质即可得到结论；
（3）根据正方形的性质得到AB=BC=10，∠ABC=90°，AC⊥BD，根据勾股定理得到AC=10$\sqrt{2}$，由于S_△BCH=S_△BCE+S_△BHE，得到$\frac{1}{2}$BH•OC=$\frac{1}{2}$BC•EG+$\frac{1}{2}$BH•EF，根据等式的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：如图1，连接AE，
∵EG⊥AB，EF⊥AC，CD⊥AB，
∵S_△ABC=S_△ABE+S_△ACE，
∴$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AB•EG+$\frac{1}{2}$AC•EF，
∵AB=AC，
∴CD=EG+EF；

（2）解：CD=EG-EF，
理由：连接AE，
∵EG⊥AB，EF⊥AC，CD⊥AB，
∵S_△ABC=S_△ABE-S_△ACE，
∴$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AB•EG-$\frac{1}{2}$AC•EF，
∵AB=AC，
∴CD=EG-EF；
故答案为：CD=EG-EF；

（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=10，∠ABC=90°，AC⊥BD，
∴AC=10$\sqrt{2}$，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=5$\sqrt{2}$，
连接BE．
∵EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，
∵S_△BCH=S_△BCE+S_△BHE，
∴$\frac{1}{2}$BH•OC=$\frac{1}{2}$BC•EG+$\frac{1}{2}$BH•EF，
∴OC=EG+EF=5$\sqrt{2}$，
故答案为：5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，三角形面积的计算，正方形的性质，根据面积相等列方程是解题的关键．