Question

11．如图，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形I₁；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形I₂；…如此操作下去，得到菱形I₂₀₁₆，则I₂₀₁₆的面积是（$\frac{1}{2}$）⁴⁰³³ab．

Answer 1

分析 利用菱形的面积为两对角线乘积的一半，得到菱形I₁ 的面积，同理可得菱形I₂的面积，根据规律可得菱形I₂₀₁₆的面积．

解答 解：由题意得：菱形I₁ 的面积为：$\frac{1}{2}$×AG×AE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a×$\frac{1}{2}$b=（$\frac{1}{2}$）³•ab；
菱形I₂的面积为：$\frac{1}{2}$×FQ×FN=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a）×（$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$b）=（$\frac{1}{2}$）⁵•ab；
…，
∴菱形I_n的面积为：（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺¹ab，
故I₂₀₁₆的面积是：（$\frac{1}{2}$）^2×2016+1ab=（$\frac{1}{2}$）⁴⁰³³ab．
故答案为：（$\frac{1}{2}$）⁴⁰³³ab．

点评 本题主要考查了菱形面积的计算和规律的归纳，利用菱形的面积为两对角线乘积的一半，是解答此题的关键．