如图1.抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A.B两点.与y轴相交于点C．(1)直接写出A.B.C三点的坐标和抛物线的对称轴,(2)如图2.连接BC.与抛物线的对称轴交于点E.点P位线段BC上的一个动点.过点P作PF∥DE交抛物线于点F.设点P的横坐标为m,用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时.四边形PEDF为平行四边形?(3)如图3.连接AC.在x轴上是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．如图1，抛物线y=-x²+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）如图2，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P位线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段PF的长；并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
（3）如图3，连接AC，在x轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

分析（1）通过解方程-x²+2x+3=0可得A点和B点坐标，再计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标，然后利用对称性可确定抛物线的对称轴；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的函数关系式为y=-x+3，再确定E（1，2），D（1，4），表示出P（m，-m+3），F（m，-m²+2m+3），接着计算出DE=2，PF=-m²+3m，然后利用平行四边形的判定方法得到-m²+3m=2，再解方程求出m即可．
（3）分三种情况：QA=QC；CA=CQ；AC=AQ；进行讨论即可求解．

解答解：（1）当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（-1，0），B（3，0），
当x=0时，y=-x²+2x+3=3，则C（0，3）；
抛物线的对称轴是直线x=$\frac{-1+3}{2}$=1；
（2）设直线BC的函数关系式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得k=-1，b=3，
∴直线BC的函数关系式为y=-x+3，
∵对称轴是直线x=1，
∴E（1，2），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
当x=m 时，y=-m+3，
∴P（m，-m+3），F（m，-m²+2m+3），
∴线段DE=4-2=2，线段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m；
∵PF∥DE，
∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形，即-m²+3m=2，解得m₁=2，m₂=1（不合题意，舍去），
∴当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．
（3）设在x轴上存在点Q（x，0），使△ACQ为等腰三角形．分三种情况：
①如果QA=QC，那么（x+1）²=x²+3²，
解得x=4，
则点Q₁（4，0）；
②如果CA=CQ，那么1²+3²=x²+3²，
解得x₁=1，x₂=-1（不合题意舍去），
则点Q₂（1，0）；
③如果AC=AQ，那么1²+3²=（x+1）²，
解得x₁=$\sqrt{10}$-1，x₂=-$\sqrt{10}$-1，
则点Q₃（$\sqrt{10}$-1，0），Q₄（-$\sqrt{10}$-1，0）；
综上所述存在点Q，使△ACQ为等腰三角形．它的坐标为：Q₁（4，0），Q₂（1，0），Q₃（$\sqrt{10}$-1，0），Q₄（-$\sqrt{10}$-1，0）．