如图.在平面直角坐标系xOy中.抛物线y=-$\frac{3}{8}$x2+$\frac{9}{4}$x+6与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.直线l经过点A和点C.连接BC．将直线l沿着x轴正方向平移m个单位得到直线l′.l′交x轴于点D.交BC于点E.交抛物线于点F．(1)求点A.点B和点C的坐标,(2)如图2.将△EDB沿直线l′翻折得到△EDB′.求点B′的坐标,的条件下.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{9}{4}$x+6与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线l经过点A和点C，连接BC．将直线l沿着x轴正方向平移m个单位（0＜m＜10）得到直线l′，l′交x轴于点D，交BC于点E，交抛物线于点F．

（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）如图2，将△EDB沿直线l′翻折得到△EDB′，求点B′的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，当点B′落在直线AC上时，请直接写出点F的坐标．

分析（1）通过解方程，-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{9}{4}$x+6=0可得A点和B点坐标，再计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标；
（2）根据勾股定理求得BC=10，即可证得AB=BC，根据AC∥FD，得出$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BD}{BA}$，求得BE=BD，即可证得四边形EB′DB是菱形，得出B′D∥BC，然后过点B′作B′H⊥AB与H，证得△B′HD∽△COB，即可求得B′H=-$\frac{3}{5}$m+6，HD=-$\frac{4}{5}$m+8，进一步求得OH，得出B′的坐标；
（3）根据菱形的性质得出BM=B′M，由平移的定义可知DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理证得BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=5，求得D的坐标，根据勾股定理求得AC的解析式，进而求得DF的解析式，然后联立方程，即可求得F的坐标．

解答解：（1）将y=0代入y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{9}{4}$x+6得，-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{9}{4}$x+6=0，
解得x₁=-2，x₂=8，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）；
将x=0代入y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{9}{4}$x+6得y=6，
∴点C的坐标为（0，6）；
（2）在RT△COB中，由勾股定理得BC=$\sqrt{B{O}^{2}+C{O}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵AB=AO+OB=2+8=10，
∴AB=BC，
∵AD=m，
∴DB=AB-AD=10-m，
∵AC∥FD，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BD}{BA}$，
∴BE=BD=B′E=B′D=10-m，
∴四边形EB′DB是菱形，
∴B′D∥BC，
过点B′作B′H⊥AB与H，
∴∠B′DH=∠CBO，∠B′HD=∠COB=90°，
∴△B′HD∽△COB，
∴$\frac{B′H}{CO}$=$\frac{HD}{OB}$=$\frac{B′D}{CB}$，即$\frac{B′H}{6}$=$\frac{HD}{8}$=$\frac{10-m}{10}$，
∴B′H=-$\frac{3}{5}$m+6，HD=-$\frac{4}{5}$m+8，
当点B′在y轴的右侧时，OH=OB-HD-DB=8-（-$\frac{4}{5}$m+8）-（10-m）=$\frac{9}{5}$m-10，
当点B′在y轴的左侧时，OH=HD+DB-OB=（-$\frac{4}{5}$m+8）+（10-m）-8=10-$\frac{9}{5}$m，
∴点B′的坐标为（$\frac{9}{5}$m-10，-$\frac{3}{5}$m+6）；
（3）∵四边形EB′DB是菱形，
∴BM=B′M，
由平移的定义可知DE∥AC，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{BM}{B′M}$=1，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵OA=2，
∴OD=3，
∴D的坐标为（3，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
代入A（-2，0），C（0，6）得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∵DF∥AC，
设直线DF的解析式为y=3x+b，
代入D（3，0）得9+b=0，
解得b=-9，
∴直线DF为y=3x-9，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-9}\\{y=-{\frac{3}{8}x}^{2}+\frac{9}{4}x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{41}}\\{y=3\sqrt{41}-12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\sqrt{41}}\\{y=-12-3\sqrt{41}}\end{array}\right.$，
∴F的坐标为（$\sqrt{41}$-1，3$\sqrt{41}$-12）．

点评本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，平行线分线段成比例定理的应用，三角形相似的判断和性质以及待定系数法求一次函数的解析式等，利用三角形相似求解是关键．

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