Question

16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，点P在边AB上．
（1）判断四边形ABCD的形状并加以证明；
（2）若AB=AD，以过点P的直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B、C分别落在点B′、C′上，且B′C′经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q．
①在图2中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；
②如果∠C=60°，那么$\frac{AP}{PB}$为何值时，B′P⊥AB．

Answer 1

分析 （1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断；
（2）①根据轴对称的性质进行作图即可；②先根据折叠得出一些对应边相等，对应角相等，并推导出B′D=B′E，再设AP=a，BP=b，利用解直角三角形将DQ和CQ长用含a的代数式表示出来，最后根据CD=DQ+CQ列出关于a、b的关系式，求得a、b的比值即可．

解答 解：（1）四边形ABCD是平行四边形
证明：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）①四边形PB′C′Q如下：

②当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形，
由折叠可得，BP=B′P，CQ=C′Q，BC=B′C′，∠C=∠C′=60°=∠A，
当B′P⊥AB时，由B′P∥C′Q，可得C′Q⊥CD，
设AD与B'P交于点E，
∴∠PEA=30°=∠DEB′，∠QDC′=30°=∠B′DE，
∴B′D=B′E，
设AP=a，BP=b，则直角三角形APE中，PE=$\sqrt{3}$a，且B′P=b，BC=B′C′=CD=a+b，
∴B′E=b-$\sqrt{3}$a=B′D，
∴C′D=a+b-（b-$\sqrt{3}$a）=a+$\sqrt{3}$a，
∴直角三角形C′QD中，C′Q=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a=CQ，DQ=$\sqrt{3}$C′Q=$\frac{\sqrt{3}+3}{2}$a，
∵CD=DQ+CQ=a+b，
∴$\frac{\sqrt{3}+3}{2}$a+$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a=a+b，
整理得（$\sqrt{3}$+1）a=b，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，即$\frac{AP}{PB}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 本题主要考查了平行四边形以及菱形，解题的关键是掌握平行四边形的判定以及菱形的判定与性质．在解题时注意，菱形的四条边都相等，此外在折叠问题中，需要抓住对应边相等，对应角相等这些等量关系，折叠问题的实质是轴对称的性质．