Question

18．如图，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-6中上的一点．若△APD是等腰Rt△，则点D的坐标为（4，2）或（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$）或（$\frac{28}{3}$，$\frac{38}{3}$）．

Answer 1

分析 可分为当∠ADP=90°，D在AB上方和下方，当∠APD=90°时三种情况，设点D的坐标，列出方程解决问题．

解答 解：①如图1中，当∠ADP=90°，D在AB下方，

设点D坐标（a，2a-6），过点D作EF∥OC交OA于E，交BC于F，
则OE=2a-6，AE=AO-OE=12-2a，
在△ADE和△DPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠DFP}\\{∠ADE=∠DPF}\\{AD=DP}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△DPF，
∴AE=DF=12-2a，
∵EF=OC=8，
∴a+12-2a=8，
∴a=4．
此时点D坐标（4，2）．
②如图2中，当∠ADP=90°，D在AB上方，

设点D坐标（a，2a-6），过点D作EF∥OC交OA于E，交CB的延长线于F，
则OE=2a-6，AE=OE-OA=2a-12，
由△ADE≌△DPF，得到DF=AE=2a-12，
∵EF=8，
∴a+2a-12=8，
∴a=$\frac{20}{3}$，
此时点D坐标（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$）．
③如图3中，当∠APD=90°时，

设点D坐标（a，2a-6），作DE⊥CB的延长线于E．同理可知△ABP≌△EPD，
∴AB=EP=8，PB=DE=a-8，
∴EB=2a-6-6=8-（a-8），
∴a=$\frac{28}{3}$，
此时点D坐标（$\frac{28}{3}$，$\frac{38}{3}$）．
∴点D坐标为（4，2）或（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$）或（$\frac{28}{3}$，$\frac{38}{3}$）．
故答案为（4，2）或（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$）或（$\frac{28}{3}$，$\frac{38}{3}$）．

点评 本题主要考查一次函数综合应用，涉及矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及分类讨论思想等知识点，设D点的坐标是解题的关键，学会用方程的思想思考问题，考虑问题要全面，属于中考填空题中的压轴题．