题目内容
【题目】如图1，在平面直角坐标系中，有矩形AOBC，点A、B的坐标分别为（0，4）、（10,0），点P的坐标为（2，0），点M在线段AO上，点N在线段AC上，总有∠MPN=90 ，点M从点O运动到点A，当点M运动到A点时，点N与点C重合（如图2）。令AM=x
（1）.直接写出点C的坐标___________；
（2）、①设MN2=y，请写出y关于x的函数关系式，并求出y的最小值；
②连接AP交MN于点D，若MN⊥A P，求x的值；
（3）、当点M在边AO上运动时，∠PMN的大小是否发生变化？请说明理由.
图1 图2
【答案】（1）点C的坐标为（10，4）（2）①x=4时，y有最小值20；②
；（3）不发生变化.
【解析】（1）由已知条件求出点C的坐标；（2）过N点作NQ⊥OP的辅助线，利用相似三角形得出二次函数解析式，再求出y的最小值；（3）利用A、M、P、N在以MN为直径的⊙E上，（或求tan∠PMN为一定值），判断∠PMN的大小是否发生变化.
（1）点C的坐标为（10，4）
（2）①过N点作NQ⊥OP，垂足为Q
∴△POM∽△NQP，
∴
∴PQ=8－2x
∴MN2=AM2+ AN2
∴y= x2+(10－2 x) 2=5 x 2－40 +100=5(x－4) 2+20(0≤x≤4)
∴当x=4时，y有最小值20；
②取MN的中点E，连AE、PE，
∵∠MAN=∠MPN=90°
∴A、M、P、N在以MN为直径的⊙E上
由垂径定理可知AD=PD，∴AM=PM=x
在Rt△POM中，
∴
， 解得
（3）∠PMN的大小不发生变化
方法1，∵A、M、P、N在以MN为直径的⊙E上
∴∠PMN=∠PAN
∴∠PMN的大小不发生变化
方法2，∵△POM∽△NQP
∴tan∠PMN=
=2
∴∠PMN的大小不发生变化
“点睛”此题考查矩形的性质，二次函数，相似三角形，垂径定理，勾股定理以及关于点运动变化变化的情况，解题时要多角度考虑解法．
