Question

16．如图，⊙O为Rt△ACB的外接圆，点P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，连接AC．
（1）若AC=CP，求$\frac{AC}{AP}$的值．
（2）若sin∠APC=$\frac{7}{25}$，求tan∠ABC．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠P，根据切线的性质得到∠OCP=90°，求出∠P=30°，于是得到$\frac{OC}{PC}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）如图2，连接OC，根据sin∠APC=$\frac{OC}{OP}$=$\frac{7}{25}$，设OC=7k，OP=25k，求出AP=32k，PC=$\sqrt{O{P}^{2}-O{C}^{2}}$=24k，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）连接OC，
∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∵PC切⊙O于点C，
∴∠OCP=90°，
∵∠COP=∠A+∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COP=2∠A=2∠P，
∴∠P+∠COP=90°，
∴∠P=30°，
∴$\frac{OC}{PC}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠A=∠A，∠ACO=∠P，
∴△AOC∽△APC，
∴$\frac{AC}{AP}=\frac{OC}{CP}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）如图2，连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，∠A=∠BCP，
∵sin∠APC=$\frac{OC}{OP}$=$\frac{7}{25}$，
∴设OC=7k，OP=25k，
∴AP=32k，PC=$\sqrt{O{P}^{2}-O{C}^{2}}$=24k，
∵∠P=∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{PC}{PA}$=$\frac{24k}{32k}$=$\frac{3}{4}$，
∵∠ACB=90°，
∴tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．