Question

7．如图，在?ABCD中，∠ABC=60°，E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，AG⊥BC，EF=$\sqrt{3}$，求AG的长．

Answer 1

分析 在Rt△ECF中，由∠EFC=90°，EF=$\sqrt{3}$，∠ECF=60°，推出∠CEF=30°，推出CF=EF•tan30°=1，EC=2CF=2，推出AB=CC=DE=1，在Rt△ABG中，由∠AGB=90°，∠ABG=60°，推出∠BAG=30°，即可推出BG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$．AG=$\sqrt{3}$BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ECF=∠ABC=60°，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE=CD，
在Rt△ECF中，∵∠EFC=90°，EF=$\sqrt{3}$，∠ECF=60°，
∴∠CEF=30°，
∴CF=EF•tan30°=1，EC=2CF=2，
∴AB=CC=DE=1，
在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，∠ABG=60°，
∴∠BAG=30°，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$．AG=$\sqrt{3}$BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查平行四边形的性质，解直角三角形、特殊角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．