Question

6．如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE．
（1）求证：AD=BE；
（2）当CD∥AB，AD=AB时，求证：∠CEB=2∠CBE；
（3）在（2）的条件下，已知AB=2，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明AD=BE，只要证明△ACD≌△BCE即可．
（2）作DM⊥AB于M，CN⊥AB于N，先证明∠DAB=30°，再分别求出∠CBE，∠CEB的度数即可．
（3）根据CD=MN=AM-AN，分别求出AM、AN即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
（2）作DM⊥AB于M，CN⊥AB于N．
∵CA=CB，CN⊥AB，
∴AN=BN，∵∠ACB=90°，
∴CN=$\frac{1}{2}$AB，
∵CN∥DM，CD∥MN，
∴四边形MNCD是平行四边形，
∵∠DMN=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴DM=CN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠DAM=30°，
∵CD∥AB，
∴∠ADC=∠DAB=30°，
∵∠CAB=45°，
∴∠CAD=15°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD=15°，∠ADC=∠BEC=30°，
∴∠CEB=2∠CBE．
（3）由（2）可知四边形MNCD是矩形，
∴DM=CN=AN=BN=$\frac{1}{2}$AB=1，CD=MN，
在RT△ADM中，∵AD=2，DM=1，
∴AM=$\sqrt{A{D}^{2}-D{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴CD=MN=AM-AN=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30°的判定等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质、学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．