Question

15．如图，在菱形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，∠B=120°，E是AD边上的一个动点（不与点A，D重合），EF∥AB交BC于点F，点G在CD上，DG=DE．
（1）当△EFG为等腰三角形时，求DE的长；
（2）当△EFG为等腰三角形时，求△EFG与菱形ABCD的面积比．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是菱形，得到BC∥AD，由于EF∥AB，得到四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EF∥AB，于是得到EF=AB=$\sqrt{3}$，当△EFG为等腰三角形时，①EF=GE=$\sqrt{3}$时，于是得到DE=DG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，②GE=GF时，根据勾股定理得到DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）当△EFG为等腰三角形时，EG²+FG²=EF²时根据三角函数的定义得到GE=$\frac{3}{2}$，GF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据三角形和菱形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF∥AB，
∴EF=AB=$\sqrt{3}$，
当△EFG为等腰三角形时，
①EF=GE=$\sqrt{3}$时，则DE=DG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
②GE=GF时，（$\sqrt{3}DE）$²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE）²+（$\sqrt{3}$-DE-$\frac{1}{2}$DE）²，解得DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；

（2）当△EFG为等腰三角形时，EG²+FG²=EF²时，
∵GD=DE，
∴∠DGE=∠DEG=30°，
∴∠FEG=30°，
∴$\frac{GE}{EF}$=sin60°，
∴$\frac{GE}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴GE=$\frac{3}{2}$，
∴GF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△EFG}}{{S}_{菱形ABCD}}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练则菱形的性质是解题的关键．