Question

18．如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE．
（1）求证：FC是⊙O的切线．
（2）若D为半径OA的中点，FD交⊙O于点G，求∠ACG的度数．

Answer 1

分析 （1）求出∠FCE=∠FEC，∠OCA=∠OAC，求出∠FCO=∠FDO=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）连接OG，求出OG=2OD，求出∠GOD=60°，根据圆周角定理得出∠ACG=$\frac{1}{2}$∠GOA，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵FC=FE，OA=OC，
∴∠FCE=∠FEC，∠OCA=∠OAC，
∵∠AED=∠FEC，
∴∠AED=∠FCE，
∴∠FCE+∠OCA=∠AED+∠OAC，
∴∠FCO=∠FDO，
∵FD⊥AB，
∴∠FDO=90°，
∴∠FCO=90°，
∵OC为半径，
∴FC是⊙O的切线；

（2）解：连接OG，
∵D为OA的中点，
∴OA=OG=2OD，
∴FD⊥OA，
∴∠GDO=90°，
∴∠DGO=30°，
∴∠GOA=90°-30°=60°，
∴∠ACG=$\frac{1}{2}$∠GOA=30°．

点评 本题考查了切线的判定，含30°角的直角三角形性质，圆周角定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，注意：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．