Question

1．在△ABC中，AB=14，AE=12，BD=7，BC=28，且∠BAD=∠EAC．
（1）EC的长？
（2）△AED∽△BEA是否相似？说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据两边对应成比例且夹角相等判定△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质得∠BAD=∠EAC，从而有∠EAC=∠C，即可得EC=AE；
（2）由$\frac{ED}{EA}=\frac{EA}{EB}$、∠AED=∠BEA可判定△AED∽△BEA．

解答 解：（1）∵AB=14，AE=12，BD=7，BC=28，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{14}{28}=\frac{1}{2}$，$\frac{BD}{BA}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{BA}$，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠BAD=∠EAC，
∴∠EAC=∠C，
∴EC=AE=12；
（2）△AED∽△BEA，
∵BC=28，BD=7，EC=12，
∴DE=9，
∵$\frac{ED}{EA}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$，$\frac{EA}{EB}=\frac{12}{7+9}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{ED}{EA}=\frac{EA}{EB}$，
又∵∠AED=∠BEA，
∴△AED∽△BEA．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似是解决此题的关键．