Question

14．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，设直线BE与直线AM的交点为O．
（1）如图1，点D在线段AM上，①求证：AD=BE；②求证：∠AOB=60°
（2）当动点D在线段MA的延长线上时，试判断（1）中∠AOB的度数是否会发生改变？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）①如图1中，只要证明△ACD≌△BCE即可．
②先证明∠CAM=30°，由△ACD≌△BCE得∠OBM=∠CAM=30°，由此即可解决问题．
（2）如图②中，结论不变．证明方法类似（1）．

解答 （1）证明：①如图1中，∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE
②∵BM=CM，AB=AC，∠BAC=60°，
∴AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=30°，
∴∠AMC=∠MBO=90°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠OBM=∠CAM=30°，
∵∠OBM+∠BOM=90°
∴∠AOB=60°
（2）如图②中，结论：∠AOB的度数不变．
理由：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
：∵BM=CM，AB=AC，∠BAC=60°，
∴AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=30°，
∴∠AMC=∠MBO=90°，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠DAC=∠EBC，
∴∠OBM=∠CAM=30°，
∴∠AOB=90°-∠OBM=60°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，灵活运用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．