Question

14．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD=DC；     
（2）若EC=1，CD=2，求⊙O的半径；    
（3）若∠A=30°，连接DE，过点B作BF∥DE，交⊙O于点F，连接OF，则∠BOF的度数是90°．

Answer 1

分析 （1）连接BD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质证明即可；
（2）连接BE，根据圆周角定理、相似三角形的判定定理得到△BEC∽△ADC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=75°，根据直角三角形的性质得到DE=DB，根据平行线的性质、等腰三角形的性质计算即可．

解答 （1）证明：如图1，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，又AB=AC，
∴BD=DC；
（2）解：如图2，连接BE，
∵CD=2，
∴BC=2CD=4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，又AD⊥BC，
∴△BEC∽△ADC，
∴$\frac{EC}{DC}$=$\frac{BC}{AC}$，即$\frac{1}{4}$=$\frac{4}{AC}$，
解得，AC=16，
∴⊙O的半径=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC=8；
（3）解：∵∠A=30°，
∴∠ABC=∠C=75°，
∴∠EBC=15°，
在Rt△BEC中，D为BC的中点，
∴DE=DB，
∴∠DEB=∠EBC=15°，
∵BF∥DE，
∴∠FBE=∠DEB=15°，
∴∠OBF=45°，又OB=OF，
∴∠BOF=90°，
故答案为：90°．

点评 本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质的应用，掌握圆周角定理及其推论、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．