Question

20．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=4，∠CBA=30°，点D在AO上运动，点E与点D关于AC对称：DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：
①CE=CF；
②线段EF的最小值为$\sqrt{3}$；
③当AD=1时，EF与半圆相切；
④当点D从点A运动到点O时，线段EF扫过的面积是4$\sqrt{3}$．
其中正确的序号是①③．

Answer 1

分析 （1）由点E与点D关于AC对称可得CE=CD，再根据DF⊥DE即可证到CE=CF．
（2）根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF=2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．
（3）连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD=OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO=90°，从而得到EF与半圆相切．
（4）首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与△ABC的关系，就可求出线段EF扫过的面积．

解答 解：①连接CD，如图1所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE=CD．
∴∠E=∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°．
∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°．
∴∠F=∠CDF．
∴CD=CF，
∴CE=CD=CF．故①正确．
②当CD⊥AB时，如图2所示．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AB=4，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，AC=2，BC=2$\sqrt{3}$．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为$\sqrt{3}$．
∵CE=CD=CF，
∴EF=2CD．
∴线段EF的最小值为2$\sqrt{3}$．故②错误．
③当AD=1时，连接OC，如图3所示．
∵OA=OC，∠CAB=60°，
∴△OAC是等边三角形．
∴CA=CO，∠ACO=60°．
∵AO=2，AD=1，
∴DO=1．
∴AD=DO，
∴∠ACD=∠OCD=30°，
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA=∠DCA，
∴∠ECA=30°，
∴∠ECO=90°，
∴OC⊥EF，
∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF与半圆相切．故③正确．
④∵点D与点E关于AC对称，
点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点O时，
点E的运动路径AM与AO关于AC对称，
点F的运动路径NG与AO关于BC对称．
∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．
∴S_阴影=2S_△AOC=2×$\frac{1}{4}$•AC•BC=$2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．故④错误．
故答案为①③．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含30°角的直角三角形、垂线段最短等知识，综合性强，有一定的难度，第四个问题解题的关键是通过特殊点探究EF的运动轨迹，属于中考压轴题．