Question

15．如图所示，⊙O的面积为1，点P为⊙O上一点，令记号[n，m]表示半径OP从如图所示的位置开始以点O为中心连续旋转n次后，半径OP扫过的面积．旋转的规则为：第1次旋转m度；第2次从第1次停止的位置向相同的方向再次旋转$\frac{m}{2}$度；第3次从第2次停止的位置向相同的方向再次旋转$\frac{m}{4}$度；第4次从第3次停止的位置向相同的方向再次旋转$\frac{m}{8}$度；…依此类推．例如[2，90]=$\frac{3}{8}$，则[2016，180]=$\frac{{2}^{2016}-1}{{2}^{2016}}$．

Answer 1

分析 主要是读懂[2，90]=$\frac{3}{8}$，它反应的是开始第一次以90°旋转，第二次以$\frac{90°}{2}$旋转，旋转两次．

解答 解：由题意可得：
[2016，180]=$\frac{{2}^{2016}-1}{{2}^{2016}}$．
故答案为$\frac{{2}^{2016}-1}{{2}^{2016}}$．

点评 本题是扇形面积的计算，解决本题的关键是读懂这个新定义．