Question

11．如图，二次函数y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点A（-1，0），点C（0，-2）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、c的二元一次方程组，求得a、c的值，从而可求得抛物线的解析式；
（2）先求得点B的坐标，然后求得AB、AC、BC的长，依据勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形，△ABC的外心为AB的中，从而可求得为外接圆圆心的坐标；
（3）过点M作ME⊥AB，垂足为E，ME交BC于点D．先求得直线BC的解析式，设点M的坐标为（a，$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a-2）．则点D的坐标为（a，$\frac{1}{2}$a-2），用含a的式子表示出△BCM的面积，依据配方法可求得△CBM面积的最大值以及此时点M的坐标．

解答 解：（1）∵将A（-1，0）、点C（0，-2）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{3}{2}+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得；$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．
（2）令y=0得：$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，解得：x₁=-1，x₂=4．
∴B（4，0）．
∴AB=5．
∴AB²=25．
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC²=AO²+OC²=5，在Rt△OBC中，由勾股定理得；CB²=OC²+OB²=20．
∴AB²=AC²+BC²．
∴△ABC为直角三角形．
∴△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为．
∴△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（$\frac{3}{2}$，0）．
（3）如图所示：过点M作ME⊥AB，垂足为E，ME交BC于点D．

设BC的解析式为y=kx+b．
∵将B（4，0），C（0，-2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{2}$，b=-2，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}x-2$．
设点M的坐标为（a，$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a-2）．则点D的坐标为（a，$\frac{1}{2}$a-2）．
∵MD=EM-ED，
∴MD=$\frac{1}{2}$a-2-（$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a-2）=-$\frac{1}{2}$a²+2a．
∴S_△CBM=$\frac{1}{2}$OB•DM=-a²+4a=-（a-2）²+4．
∴当a=2时，△CBM的面积有最大值，△CBM的面积的最大值为4．
∵将a=2代入y=$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a-2得：y=-3，
∴点M的坐标为（2，-3）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、勾股定理和勾股定理的逆定理、配方法求二次函数的最值，列出△BCM的面积与a的函数关系式是解题的关键．