题目内容
9．如图①，三个直径为a的等圆⊙P、⊙Q、⊙O两两外切，切点分别是A、B、C．（1）那么OA的长是$\frac{\sqrt{3}}{2}$a（用含a的代数式表示）；
（2）探索：现有若干个直径为a的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，那么这两种方案中n层圆圈的高度hn=na，h′n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（n-1）a+a（用含n、a的代数式表示）；
（3）应用：现有一种长方体集装箱，箱内长为6米，宽为2.5米，高为2.5米，用这种集装箱装运长为6米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形铜管，你认为采用第（2）题中的哪种方案在这种集装箱中装运铜管数多？通过计算说明理由；参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73
分析 （1）由切线的性质，易得△OPQ是等边三角形，然后等边三角形的性质以及三角函数的知识进行求解，即可求得答案；
（2）n个圆的直径即为②中的高，结合（1），由等边三角形的性质和勾股定理进行计算③中的高；
（3）结合（2）的结论进行分析求即即可求得答案．
解答 
解：（1）连接OA，
∵三个直径为a的等圆⊙P、⊙Q、⊙O两两外切，
∴OP=PQ=OQ=a，
∴△OPQ是等边三角形，
∴∠OPQ=60°，
∵AP=AQ，
∴OA⊥PQ，
∴OA=OP•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a；
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$；
（2）如图②：高度hn=na；
如图③：h′n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（n-1）a+a；
故答案为：na，$\frac{\sqrt{3}}{2}$（n-1）a+a；
（3）方案二在这种集装箱中装运铜管数多．
理由：方案一：0.1n≤2.5，
解得：n≤25，
25×25=625．
方案二：根据题意，第一层排放25根，第二层排放24根，
设钢管的放置层数为n，可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$（n-1）×0.1+0.1≤2.5，
解得n≤28.7．
∵n为正整数，
∴n=28．
钢管放置的最多根数为：25×14+24×14=686（根）．
∴方案二在这种集装箱中装运铜管数多．
点评 此题属于圆的综合题．考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意得到规律h′n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（n-1）a+a是关键．
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