Question

1．已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，
（1）若AB=2，∠AOD=120°，求对角线AC的长；
（2）若AC=2AB．求证：△AOB是等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB=$\frac{1}{2}$AC，根据邻补角的定义求出∠AOB，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB，然后求解即可；
（2）由矩形的性质易得：AC=2AO=2BO，又因为AC=2AB，所以AO=BO=AB，进而可证明△AOB是等边三角形．

解答 （1）解：∵矩形ABCD的两条对角线交于点O，
∴OA=OB=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴AC=2OA=2×2=4；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，
∴AO=BO=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=2AB，
∴AO=BO=AB，
∴△AOB是等边三角形．

点评 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．