Question

12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=$\frac{4}{5}$，点P是边BC上的一点，PE⊥AB，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．
（1）求AD的长；
（2）设CP=x，△PCQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）过点C作CF⊥AB，垂足为F，联结PF、QF，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长．

Answer 1

分析 （1）易证AD=AC，只需运用三角函数和勾股定理求出AC即可；
（2）过点Q作QH⊥BC于H，如图1，只需用x的代数式表示QH就可解决问题；
（3）由于△PQF是以PF为腰的等腰三角形，故需分PF=PQ和PF=FQ两种情况讨论，只需将等腰三角形的性质和三角函数相结合，就可解决问题．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AB=5，sinA=$\frac{4}{5}$，
∴BC=AB•sinA=5×$\frac{4}{5}$=4，
∴AC=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．
∵PC=PQ，∴∠PCQ=∠PQC．
∵PE⊥AB即∠QED=90°，
∴∠EQD+∠EDQ=90°．
∵∠ACD+∠PCQ=90°，
∴∠EDQ=∠ACD．
∵∠CDA=∠EDQ，
∴∠ACD=∠CDA，
∴AD=AC=3；

（2）过点Q作QH⊥BC于H，如图1，
∵∠PBE+∠BPE=90°，∠PBE+∠A=90°，
∴∠BPE=∠A，
∴sin∠HPQ=sin∠A=$\frac{4}{5}$，
∴sin∠HPQ=$\frac{QH}{PQ}$=$\frac{4}{5}$．
∵PQ=PC=x，∴QH=$\frac{4}{5}$x，
∴S_△PCQ=$\frac{1}{2}$PC•QH=$\frac{1}{2}$x•$\frac{4}{5}$x=$\frac{2}{5}$x²（$\frac{3}{2}$≤x＜4）；
（当E、Q、D共线时，可得x最小值，根据$\frac{x}{4-x}$=$\frac{3}{5}$，解得x=$\frac{3}{2}$．）

（3）①当PF=PQ时，则有PF=PQ=x=PC．
过点P作PG⊥CF于G，如图2，
则CG=$\frac{1}{2}$CF．
∵CF⊥AB，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CF，
∴CF=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴CG=$\frac{6}{5}$．
∵∠PCG=90°-∠FCA=∠A，
∴cos∠PCG=cos∠A=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠PCG=$\frac{CG}{PC}$=$\frac{3}{5}$，
∴x=PC=$\frac{5}{3}$CG=$\frac{5}{3}$×$\frac{6}{5}$=2；
②当PF=FQ时，
∵FE⊥PQ，
∴PE=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{1}{2}$x，
∴cos∠BPE=$\frac{PE}{BP}$=$\frac{\frac{1}{2}x}{4-x}$=$\frac{3}{5}$，
∴x=$\frac{24}{11}$．
综上所述：当△PQF是以PF为腰的等腰三角形，CP的长为2或$\frac{24}{11}$．

点评 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角函数、同角或等角的余角相等、勾股定理等知识，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．