Question

2．已知四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=2PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，则对角线PQ的长的最小值是6．

Answer 1

分析 作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证Rt△ADP∽Rt△QHC．由DE=2PD，则BH即可．由图知，当PQ⊥AB时，PQ的长最小值即可求得．

解答 解：作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵AB∥QH，
∴∠APD+∠DPQ=∠PQC+∠CQH．
∵以PE，PC 为边作?PCQE，
∴PE∥CQ，
∴∠DPQ=∠PQC，
∴∠APD=∠CQH，
∴Rt△ADP∽Rt△QHC．
∴$\frac{PD}{QC}$=$\frac{AP}{HQ}$，即$\frac{PD}{PE}$=$\frac{AD}{HC}$，
∵DE=2PD，
∴$\frac{PD}{3PD}$=$\frac{AD}{HC}$，
∵AD=1，
∴HC=2+1=3，
∵BC=3，
∴BH=3+2+1=6．
∴由图知，当PQ⊥AB时，PQ的长最小值为6．
故答案是：6．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键．