Question

17．如图，在菱形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，∠ABC=60°，把菱形ABCD绕点B顺时针旋转α得到菱形A′BC′D′，其中点D′落在BC的延长线上，点C的运动路径为$\widehat{CC′}$，则图中阴影部分的面积为3$\sqrt{3}$-π．

Answer 1

分析 根据菱形及旋转性质可得∠C′BC=∠A′BA=α=30°、BC′=BC=2$\sqrt{3}$，作C′E⊥BD′于点E，在RT△BC′E中可得BC、C′E的长度，由等腰三角形可知BD′=2BC，最后根据阴影部分面积=S_△BC′D′-S_扇形CBC′列式计算可得．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠A=120°，AB=BC=2$\sqrt{3}$
又∵菱形A′BC′D′是由菱形ABCD绕点B顺时针旋转α得到，
∴∠A′=∠A=120°，A′B=A′D′，∠C′BC=∠A′BA=α，
∴∠C′BC=∠A′BA=α=30°，BC′=BC=2$\sqrt{3}$，
如图，过点C′作C′E⊥BD′于点E，

在RT△BC′E中，BE=BC′•cos∠C′BC=2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
C′E=BC′sin∠C′BC=2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴BD′=2BC=6，
则阴影部分面积=S_△BC′D′-S_扇形CBC′
=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$-$\frac{30•π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$
=3$\sqrt{3}$-π，
故答案为：3$\sqrt{3}$-π．

点评 本题主要考查了菱形及旋转的性质、扇形面积的计算，根据题意知阴影部分面积=S_△BC′D′-S_扇形CBC′是解题的根本，熟练根据菱形及旋转性质求得所需线段的长和角的度数是关键．