题目内容
17．
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=$\frac{1}{2}$BC，AC=10cm，动点E从点A出发，以2cm/s的速度沿AC向点C运动；同时动点F从点A出发，以4cm/s的速度沿A-C-A运动；当点E到达终点C时，点F随之停止运动．作点F关于点E的对称点G，将线段GF绕点G逆时针旋转90°得到线段GH，以GF，GH为边作正方形FGHI，设点E的运动时间为ts．（1）用含t的代数式表示线段CF的长；
（2）求点E与点F重合时t的值；
（3）点E与点F重合之前，当正方形FGHI与Rt△ABC重叠部分的图形是四边形时，求重叠部分图形的面积S与t的函数关系式；
（4）直接写出直线BI与AC垂直时t的值．
分析 （1）分两种情况分别表示FC的长即可；
（2）当F从C到A时，才会有E与F重合，即当2.5＜t≤5时，如图1，点E与点F重合，根据EC=FC列式解出即可；
（3）由图形可知：当点E与点F重合之后，所成的正方形FGHI在AC的下方，与Rt△ABC无重叠部分，因此在0≤t≤$\frac{10}{3}$时，当正方形FGHI与Rt△ABC重叠部分的图形是四边形时，分四种情况讨论：
①先计算当I在BC上时t的值，如图2，此时t=$\frac{5}{6}$，
当0≤t≤$\frac{5}{6}$时，如图4，正方形FGHI与Rt△ABC重叠部分的图形是四边形AFIG，利用S正方形AFIH-S△AGH可以求得S的关系式；
②计算当B在HI上时，如图3，此时t=1，
当1≤t＜5时，如图5，重叠部分的图形是四边形AFGB，根据S=S△ABC-S△CFG可以求得S的关系式；
③如图6，点F从C到A时，计算GH过点B时，根据EG=FE，列式计算t=$\frac{11}{4}$，如图7，H在BC上时，根据2GH=GC，计算t=$\frac{25}{8}$，
当$\frac{11}{4}$≤t≤$\frac{25}{8}$时，如图8，重叠部分的四边形为GFIH，根据梯形面积公式求得S的关系式；
④先计算当I在BC上时，t=$\frac{45}{14}$，
当$\frac{45}{14}$≤t≤$\frac{10}{3}$时，重叠部分的四边形是正方形GFIH，代入面积公式计算即可；
（4）当BI⊥AC时，如图10，此时BF⊥AC，利用勾股定理理求AM=2$\sqrt{5}$t，证明△BMI∽△BAF，得AM=$\frac{1}{2}$AB，列式可求得t的值．
解答 
解：（1）当0≤t≤2.5时，FC=10-4t；
当2.5＜t≤5时，AC+FC=4t，FC=4t-10；
（2）当2.5＜t≤5时，如图1，点E与点F重合，
EC=FC，
则10-2t=4t-10，
6t=20，
t=$\frac{10}{3}$，
答：点E与点F重合时t的值是$\frac{10}{3}$s；
（3）分四种情况：
①当I在BC上时，如图2，
Rt△IFC中，tan∠C=$\frac{FI}{FC}=\frac{1}{2}$，
∴FC=2FI，
10-4t=2×4t，
t=$\frac{5}{6}$，
在Rt△ABC中，设AB=x，则BC=2x，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{5}$x=10，
x=2$\sqrt{5}$，
∴AB=2$\sqrt{5}$，BC=4$\sqrt{5}$，
当B在HI上时，如图3，
S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$AC•AH，
2$\sqrt{5}$×$4\sqrt{5}$=10AH，
AH=4，
AH=AF=4t=4，
t=1，
当0≤t≤$\frac{5}{6}$时，如图4，正方形FGHI与Rt△ABC重叠部分的图形是四边形AFIG，
∵四边形AFIH是正方形，
∴∠HAF=90°，AF=AH=4t，
∴∠HAG+∠GAF=90°，
∵∠B=90°，
∴∠C+∠GAF=90°，
∴∠C=∠HAG，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴tan∠C=tan∠HAG=$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{GH}{AH}$=$\frac{1}{2}$，
∴AH=2GH=4t，
∴GH=2t，
∴S=S正方形AFIH-S△AGH=4t•4t-$\frac{1}{2}$•2t•4t=12t2；
②当1≤t＜5时，如图5，重叠部分的图形是四边形AFGB，
∵FC=10-4t，
∴FG=$\frac{1}{2}$FC=5-2t，
∴S=S△ABC-S△CFG=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{5}$×$4\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$（5-2t）（10-4t），
S=-4t2+20t-5，
③如图6，点F从C到A时，当GH过点B，
在Rt△ABG中，cos∠A=$\frac{AG}{AB}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{AG}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{10}$，
∴AG=2，
∵FC=4t-10，
由G与F关于点E对称得：EG=FE，
AE-AG=EC-FC，
2t-2=10-2t-（4t-10），
t=$\frac{11}{4}$，
如图7，H在BC上时，
∵EF=EC-FC=10-2t-（4t-10）=20-6t，
∴GH=2EF=2（20-6t）=40-12t，
tan∠C=$\frac{GH}{GC}=\frac{1}{2}$，
∴2GH=GC，
2（40-12t）=40-12t+4t-10，
40-12t=4t-10，
16t=50，
t=$\frac{25}{8}$，
当$\frac{11}{4}$≤t≤$\frac{25}{8}$时，如图8，重叠部分的四边形为GFMN，
FM=$\frac{1}{2}$FC=2t-5，
GC=2EF+FC=40-12t+4t-10=30-8t，
GN=$\frac{1}{2}$GC=15-4t，
∴S=S梯形GFMN=$\frac{1}{2}$（FM+GN）•GF=$\frac{1}{2}$（2t-5+15-4t）（40-12t），
S=12t2-100t+300，
④如图9，当I在BC上时，
FI=$\frac{1}{2}$CF=2t-5，
FG=40-12t，
∵FG=FI，
∴40-12t=2t-5，
t=$\frac{45}{14}$，
当$\frac{45}{14}$≤t≤$\frac{10}{3}$时，重叠部分的四边形是正方形GFIH，
S=GF2=（40-12t）2=144t2-960t+1600，
综上所述，重叠部分图形的面积S与t的函数关系式：S=$\left\{\begin{array}{l}{12{t}^{2}（0≤t≤\frac{5}{6}）}\\{-4{t}^{2}+20t-5（1≤t＜5）}\\{12{t}^{2}-100t+300（\frac{11}{4}≤t≤\frac{25}{8}）}\\{144{t}^{2}-960t+1600（\frac{45}{14}≤t≤\frac{10}{3}）}\end{array}\right.$；
（4）当BI⊥AC时，如图10，此时BF⊥AC，
在Rt△AHM中，AH=4t，HM=2t，
由勾股定理理：AM=$\sqrt{（4t）^{2}+（2t）^{2}}$=2$\sqrt{5}$t，
∴MI=HI-HM=4t-2t=2t，
∵MI∥AF，
∴△BMI∽△BAF，
∴$\frac{BM}{AB}=\frac{MI}{AF}$=$\frac{2t}{4t}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB=2BM，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB，
2$\sqrt{5}$t=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{5}$，
t=$\frac{1}{2}$，
则直线BI与AC垂直时t的值是$\frac{1}{2}$．
点评 本题是四边形的综合题，难度较大，容易丢解，尤其是第三问；还考查了正方形的性质、勾股定理、动点运动的问题、同角的三角函数以及三角形相似的性质和判定，并与二次函数相结合，根据多边形的面积公式或和差的关系求解二次函数的关系式，注意第三问中重叠部分是四边形时的t的取值．
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