Question

9．如图，在网格图中，有△ABC与线段DE，在线段AG上是否存在点M，使得△MEC与△ADE相似？若存在，请先在图中确定出所有的点M，并选择其中一个说明理由；若不存在，也请说明理由．（图中各点均在格点上）．

Answer 1

分析 △ADE中，∠ADE=90°，DE是△ABC的中位线，则DE∥BC；如果过点E作EM⊥AC于M，则△AEM中有两个角与△ADE中的两个角分别对应相等，根据相似三角形的判定，可知两三角形相似．

解答 解：存在．
理由：过点E作AC的垂线，与AG交于一点M，点M即为所求．连接MC；
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，AE=EC．
∵ME⊥AC，
∴△AEM≌△CEM．
∴∠MAE=∠MCE．
∵∠B=90°，
∴∠DAM=90°．
∵AF∥BC，
∴AM∥DE．
∴∠MAE=∠AED．
∴∠AED=∠MCE．
∵∠ADE=∠MEC=90°，
∴△MEC∽△ADE．

点评 本题主要考查相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，综合性较强，难度适中．