Question

2．如图，边长为10的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 过点F作FI⊥BC于点BC，延长线AD交AD于J，根据题意可求出FI、FJ和JH的长度，从而求出HD的长度．

解答 解：过点F作FI⊥BC于点BC，延长线AD交AD于J，
由题意可知：CF=BC=10，∠FCB=30°，
∴FI=5，CI=5$\sqrt{3}$
∵JI=CD=10，
∴JF=JI-FI=5，
∵∠HFC=90°，
∴∠JFH+∠IFC=∠IFC+∠FCB=90°，
∴∠JFH=∠FCB=30°，
设JH=x，则HF=2x，
∴由勾股定理可知：（2x）²=x²+5²，
∴x=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴DH=DJ-JH=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$
故答案为：$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查正方形的性质，涉及正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，含30°的直角三角形的性质，本题属于中等题型．