Question

7．课本“目标与评定”中有这样一道思考题，如图钢架中，∠A=20°，焊上等长的钢条来加固钢架，若AP₁=P₁P₂，问这样的钢条至多需要多少根？
（1）请补充完整如下解答：
解：由题意可知，P₁P₂=P₂P₃=P₃P₄=P₄P₅=…
∵∠A=20°，AP₁=P₁P₂，
∴∠AP₂P₁=∠A．
∴∠P₂P₁P₃=∠P₁P₃P₂=40°，
同理可得，∠P₃P₂P₄=∠P₂P₄P₃=60°，
∠P₄P₃P₅=∠P₄P₅P₃=80°．
∴∠P₅P₄B=100°＞90°，
∴对于直线P₄B上任意一点P₆（点P₄除外），P₄P₅＜P₅P₆，
∴这样的钢条至多需要4根．
（2）继续探究：当∠A=15°时，这样的钢条至多需要多少根？

Answer 1

分析 （1）由于焊上的钢条长度相等，并且AP₁=P₁P₂，所以∠A=∠P₁P₂A，则可算出∠P₂P₁P₃的度数，并且和∠P₁P₃P₂度数相等，根据平角的度数为180度和三角形内角和为180度，结合等腰三角形底角度数小于90度即可求出最多能焊上的钢条数；
（2）由于焊上的钢条长度相等，并且A P₁=P₁P₂，所以∠A=∠P₁P₂A，则可算出∠P₂P₁P₃的度数，并且和∠P₁P₃P₂度数相等，根据平角的度数为180度和三角形内角和为180度，结合等腰三角形底角度数小于90度即可求出最多能焊上的钢条数．

解答 解：（1）由题意可知，P₁P₂=P₂P₃=P₃P₄=P₄P₅=…
∵∠A=20°，AP₁=P₁P₂，
∴∠AP₂P₁=∠A．
∴∠P₂P₁P₃=∠P₁P₃P₂=40°，
同理可得，∠P₃P₂P₄=∠P₂P₄P₃=60°，
∠P₄P₃P₅=∠P₄P₅P₃=80°．
∴∠P₅P₄B=100°＞90°，
∴对于直线P₄B上任意一点P₆（点P₄除外），P₄P₅＜P₅P₆，
∴这样的钢条至多需要4根；
故答案为：∠A，80°，4；
（2）如图：
∵∠A=∠P₁P₂A=15°，
∴∠P₂P₁P₃=30°，∠P₁P₃P₂=30°，
∴∠P₁P₂P₃=120°，
∴∠P₃P₂P₄=45°，
∴∠P₃P₂P₄=45°，
∴∠P₂P₃P₄=90°，
∴∠P₄P₃P₅=60°，
∴∠P₃P₅P₄=60°，
∴∠P₃P₄P₅=60°，
∴∠P₅P₄P₆=75°，
∴∠P₄P₆P₅=75°，
∴∠P₄P₅P₆=30°，
∴∠P₆P₅P₇=90°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条．

点评 此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．