Question

10．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是BC边上的一动点（不与B、C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于点E，且tan∠α=$\frac{3}{4}$，有以下的结论：①△DBE∽△ACD；②△ADE∽△ACD；③△BDE为直角三角形时，BD为8或$\frac{7}{2}$；④0＜BE≤5，其中正确的结论是①③（填入正确结论的序号）

Answer 1

分析 ①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明．
②根据只有一组对应角相等且的两三角形不一定相似，即可证得．
③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得．
④依据相似三角形对应边成比例即可求得．

解答 解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADC=180°-α-∠BDE，
∵∠BED=180°-α-∠BDE，
∴∠BED=∠ADC
∴△DBE∽△ACD，故①正确；

②∵∠B=∠C，
∴∠C=∠ADE，
不能得到△ADE∽△ACD；
故②错误，

③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ABD，
∴∠ADB=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$，AB=10，
BD=8．
当∠BDE=90°时，易△BDE∽△CAD，
∵∠BDE=90°，
∴∠CAD=90°，
∵∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$．AB=10，
∴cosC=$\frac{AC}{CD}$=$\frac{4}{5}$，
∴CD=$\frac{25}{2}$，
∴BD=BC-CD=$\frac{7}{2}$；
故③正确．

④过A作AG⊥BC于G，∵cosα=$\frac{4}{5}$，
∴BG=8，
∴BC=16，易证得△BDE∽△CAD，
设BD=y，BE=x，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{CD}{BE}$，
∴$\frac{10}{16-y}$=$\frac{y}{x}$，
整理得：y²-16y+64=64-10x，
即（y-8）²=64-10x，
∴0＜x≤6.4．
故④错误．
故答案为：①③．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及利用三角函数求边长等．