Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于D，∠ACB的平分线交BD于点E，且CD=1，则DE的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}+3}{2}$
• D． $\sqrt{5}-1$

Answer 1

分析 由等腰三角形的性质及角平分线的定义可求得BD=AD=BC，BE=CE=CD，由△BCD∽△ABC可求得BD的长，从而可求得DE．

解答 解：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠DCE=36°，
∴BD=BC=AD，CD=CE=BE=1，
∴BCD∽△ABC，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{BC}{AC}$，即$\frac{CD}{BD}$=$\frac{BD}{BD+CD}$，
∴$\frac{1}{BD}$=$\frac{BD}{BD+1}$，解得BD=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴DE=BD-BE=BD-CD=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$-1=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故选A．

点评 本题主要考查等腰三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得BD的长是解题的关键．