Question

10．已知，如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=AC，E，F，G分别是BC，AD，CD的中点，EF，CA的延长线相交于点H．求证：
（1）∠CGE=∠ACD+∠CAD；
（2）AH=AF．

Answer 1

分析 （1）由题目的已知条件可得EG是△BDC的中位线，所以EG∥BD，由此可得∠CGE=∠BDC，再根据三角形外角和定理即可证明∠CGE=∠ACD+∠CAD；
（2）连接FG，易证△FGE是等腰三角形，所以∠GFE=∠GEF，再根据平行线的性质以及对顶角相等可证明∠H=∠AFE，进而可得：AH=AF，

解答 证明（1）∵E，G分别是BC，CD的中点，
∴EG是△BDC的中位线，
∴EG∥BD，
∴∠CGE=∠BDC，
∵∠BDC=∠ACD+∠CAD，
∴∠CGE=∠ACD+∠CAD；
（2）连接FG，
∵E，F，G分别是BC，AD，CD的中点，
∴EG=$\frac{1}{2}$BD，FG=$\frac{1}{2}$AC，
∵BD=AC，
∴GE=GF，
∴∠GFE=∠GEF，
∵FG∥HC，
∴∠GFE=∠H，
∵∠GEF=∠BFE=∠AFH，
∴∠H=∠AFE，
∴AH=AF．

点评 本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．