Question

19．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小勇将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．
（1）如图1，小勇在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠MAB，则AE也平分∠MAC．请你证明小勇发现的结论；
（2）小勇在旋转的过程中得到图2所示的图形时，发现线段BD、CE、DE这三条线段可以围成以DE为斜边的直角三角形，请你证明这个结论；
（3）小亮重新从AB边开始绕点A逆时针旋转三角板，并探究：当135°＜α＜180°时（如图3），形成的线段BD、CE、DE是否仍能围成以DE为斜边的直角三角形？若能，给出证明；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；
（2）成立．将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF，应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中应用勾股定理而证明；
（3）当135°＜α＜180°时，等量关系BD²+CE2=DE²仍然成立，结论仍然成立，根据（2）的方法进行证明即可．

解答 （1）证明：
如图1，∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠DAM，
∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，
∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，
∴∠MAE=∠EAC，
即AE平分∠MAC；
（2）证明：
如图2，将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF．

由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，
∴AF=AC，
又由（1）可知，∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°，
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°，
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²，
即线段BD、CE、DE这三条线段可以围成以DE为斜边的直角三角形；
（3）当135°＜α＜180°时，线段BD、CE、DE是否仍能围成以DE为斜边的直角三角形．
证明如下：
 如图3，将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF，设AB与EF相交于点G，

∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，
∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=135°，∠BAD=∠FAD，
又∵AC=AB，
∴AF=AC，
又∵∠CAE=90°-∠BAE=90°-（45°-∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE，
∴∠CAE=∠FAE，
在△AEF和△AEC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°，
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=∠135°-∠C=135°-45°=90°，
∴∠DFE=90°，
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²，
即线段BD、CE、DE是否仍能围成以DE为斜边的直角三角形．

点评 本题考查了几何变换综合性题目，用到的知识点有角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质等，题目的综合性较强，难度较大，正确做出图形的辅助线是解题的关键．