Question

7．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，则D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，那么矩形KLMJ的面积为110．

Answer 1

分析 延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．

解答 解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，
则四边形OALP是矩形．
∵∠CBF=90°，
∴∠ABC+∠OBF=90°，
又∵直角△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠OBF=∠ACB，
在△OBF和△ACB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠BOF}&{\;}\\{∠ACB=∠OBF}&{\;}\\{BC=BF}&{\;}\end{array}\right.$
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC=OB，
同理：△ACB≌△PGC，
∴PC=AB，
∴OA=AP，
∴矩形AOLP是正方形，
边长AO=AB+AC=3+4=7，
∴KL=3+7=10，LM=4+7=11，
∴矩形KLMJ的面积为10×11=110．

点评 本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．