题目内容
8．
今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75$\sqrt{2}$海里．（1）求B点到直线CA的距离；
（2）执法船从A到D航行了多少海里？（结果保留根号）
分析 （1）过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，根据三角函数可求BH的长即为所求；
（2）根据勾股定理可求DH，在Rt△ABH中，根据三角函数可求AH，进一步得到AD的长．
解答 
解：（1）过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，
∵∠MBC=60°，
∴∠CBA=30°，
∵∠NAD=30°，
∴∠BAC=120°，
∴∠BCA=180°-∠BAC-∠CBA=30°，
∴BH=BC×sin∠BCA=150×$\frac{1}{2}$=75（海里）．
答：B点到直线CA的距离是75海里；
（2）∵BD=75$\sqrt{2}$海里，BH=75海里，
∴DH=$\sqrt{B{D}^{2}-B{H}^{2}}$=75海里，
∵∠BAH=180°-∠BAC=60°，
在Rt△ABH中，tan∠BAH=$\frac{BH}{AH}$=$\sqrt{3}$，
∴AH=25$\sqrt{3}$海里，
∴AD=DH-AH=（75-25$\sqrt{3}$）（海里）．
答：执法船从A到D航行了（75-25$\sqrt{3}$）海里．
点评 此题主要考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用-方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
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