Question

17．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），四边形ABCD是正方形．
（1）填空：b=3；
（2）求点D的坐标；
（3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在x上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）把（4，0）代入y=-$\frac{3}{4}$x+b即可求得b的值；
（2）过点D作DE⊥x轴于点E，证明△OAB≌△EDA，即可求得AE和DE的长，则D的坐标即可求得；
（3）分当OM=MB=BN=NO时；当OB=BN=NM=MO=3时两种情况进行讨论．

解答 解：（1）把（4，0）代入y=-$\frac{3}{4}$x+b，得：-3+b=0，解得：b=3，
故答案是：3；
（2）如图1，过点D作DE⊥x轴于点E，
∵正方形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵直角△OAB中，∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△OAB和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠DEA}\\{∠1=∠3}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△EDA，
∴AE=OB=3，DE=OA=4，
∴OE=4+3=7，
∴点D的坐标为（7，4）；
（3）存在．
①如图2，当OM=MB=BN=NM时，四边形OMBN为菱形．
则MN在OB的中垂线上，则M的纵坐标是$\frac{3}{2}$，
把y=$\frac{3}{2}$代入y=-$\frac{3}{4}$x+4中，得x=2，即M的坐标是（2，$\frac{3}{2}$），
则点N的坐标为（-2，$\frac{3}{2}$）．

②如图3，当OB=BN=NM=MO=3时，四边形BOMN为菱形．
∵ON⊥BM，
∴ON的解析式是y=$\frac{4}{3}$x．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+4}\\{y=\frac{4}{3}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{36}{25}}\\{y=\frac{48}{25}}\end{array}\right.$．
则点N的坐标为（$\frac{72}{25}$，$\frac{96}{25}$）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（-2，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{72}{25}$，$\frac{96}{25}$）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及菱形的判定，正确进行讨论是关键．