Question

2．已知正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、BC于点E、F，作BH⊥AF，垂足为H，BH的延长线分别交AC、CD于点G、P．
（1）求证：AE=BG；
（2）求证：GO•AG=CG•AO．

Answer 1

分析 （1）利用“ASA”证明△OAE≌△OBG可得到AE=BG；
（2）由△OAE≌△OBG得到OG=OE，再由AB∥CD得到PC：AB=CG：AG，即PC：BC=CG：AG，再证明Rt△OAE∽Rt△CBP得到OA：BC=OE：PC，用等线段代换得到PC：BC=OG：OA，利用等量代换得到OG：OA=CG：AG，然后利用比例性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°，
∵BH⊥AF，
∴∠AHG=90°，
∵∠GAH+∠AGH=90°，∠OBG+∠AGH=90°，
∴∠GAH=∠OBG，
在△OAE和△OBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OBG}\\{OA=OB}\\{∠AOE=∠BOG}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OBG（ASA），
∴AE=BG；
（2）∵△OAE≌△OBG，
∴OG=OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，AB∥CD
∴PC：AB=CG：AG，
∴PC：BC=CG：AG，
∵∠AHG=∠ABC=90°
∴∠FAB+∠ABH=∠CBP+∠ABH=90°，
∴∠FAB=∠CBP，
∵AF平分∠CAB，
∴∠FAC=∠FAB，
∴∠FAC=∠CBP，
∴Rt△OAE∽Rt△CBP，
∴OA：BC=OE：PC，
∵OE=OG，
即PC：BC=OG：OA，
∴OG：OA=CG：AG，
即GO•AG=CG•AO．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．解决本题的关键是灵活应用正方形的性质和利用结论找相似三角形．