Question

9．如图，AD是△ABC的角平分线，以AD为弦的⊙O交AB、AC于E、F，已知EF∥BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若已知AE=12，CF=6，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由角平分线的定义得到∠1=∠2，得到$\widehat{DE}$=$\widehat{DF}$，根据垂径定理得到OD⊥EF，根据平行线的性质得到OD⊥BC，于是得到结论；
（2）连接DE，由$\widehat{DE}$=$\widehat{DF}$，得到DE=DF，根据平行线的性质得到∠3=∠4，等量代换得到∠1=∠4，根据相似三角形的性质即可得到结论；

解答 （1）证明：连接OD，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{DF}$，
∴OD⊥EF，
∵EF∥BC，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；

（2）解：连接DE，
∵$\widehat{DE}$=$\widehat{DF}$，
∴DE=DF，
∵EF∥BC，
∴∠3=∠4，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠4，
∵∠DFC=∠AED，
∴△AED∽△DFC，
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{DE}{CF}$，即$\frac{12}{DE}$=$\frac{DE}{6}$，
∴DE²=72，
∴DE=6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．