Question

4．如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，点M运动的路径长为4π．

Answer 1

分析 如图，连接AD、DG．只要证明∠AMC=90°，即可解决问题．

解答 解：如图，连接AD、DG．

∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，BD=CD，DE=DF，
∴AD⊥BC，GD⊥EF，
∴∠ADC=∠GDF=90°，
∴∠ADG=∠CDF，
∵AD=AG，DC=DF，
∴∠DAG=∠DGA=∠DCF=∠DFC，
∵∠DCF+∠DCM=180°，
∴∠DAM+∠DCM=180°，
∴∠ADC+∠AMC=180°，
∴∠AMC=90°，
∴点M的轨迹是以AC为直径的圆，
∴点M运动的路径长为4π，
故答案为4π．

点评 本题考查轨迹、等边三角形的性质、旋转变换、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．