Question

17．已知关于x的方程x²+mx+m-2=0．
（1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x₁，x₂，且满足x₁²+x₂²=-3x₁x₂，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）先计算△=m²-4（m-2）=m²-4m+8，配方得到△=（m-2）²+4，由于（m-2）²≥0，则（m-2）²+4＞0，即△＞0，根据△的意义即可得到无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系，结合等式x₁²+x₂²=-3x₁x₂即可求解．

解答 （1）证明：∵△=m²-4×1×（m-2）=m²-4m+8=（m-2）²+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； 

（2）解：x₁+x₂=-m，x₁x₂=m-2，
∵x₁²+x₂²=-3x₁x₂，
∴${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-2x₁ x₂=-3x₁ x₂
∴${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$=-x₁ x₂
∴m²=2-m，
∴m²+m-2=0，
∴（m+2）（m-1）=0，
∴m=-2或1．

点评 本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，能够综合运用公式是解答此题的关键．