Question

14．如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，点E是边CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若CB=CD，求四边形BDFC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据DE=EC，AF∥BC，得出内错角相等，证明△BCE≌△FDE，可判断BC∥DF且BC=DF，从而得出四边形BCDF为平行四边形；
（2）当BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，求出CG 即可解决问题．

解答 解：（1）∵AF∥BC，
∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，
又DE=EC，
∴△BCE≌△FDE；
∴DF=BC，
又∵DF∥BC，
∴四边形BCDF为平行四边形；

（2）当BC=CD=3时，过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
在Rt△CDG中，DG=BC-AD=2，CG=$\sqrt{C{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_{平行四边形BDFC}=BC•CG=3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了直角梯形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形、菱形的判定与性质．关键是利用梯形上下两底的平行关系及中点，证明两个三角形全等．